MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [577]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

Vetor do estado quântico

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como[2]

|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle

Onde $|\psi _{S}(t)\rangle$ é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

A eletrodinâmica quântica é uma teoria abeliana de calibre, dotada de um grupo de calibre U(1).

O campo de calibre que media a interação entre campos de spin 1/2, é o campo eletromagnético, que se apresenta sob a forma de fótons.

A descrição da interação se dá através da lagrangiana para a interação entre elétrons e pósitrons, que é dada por:

{\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

onde $\ \psi$ e sua adjunta de Dirac $\psi ^{*}$ são os campos representando partículas eletricamente carregadas, especificamente, os campos do elétron e pósitron representados como espinores de Dirac.

A Física de partículas é um ramo da Física que estuda os constituintes elementares da matéria e radiação, assim como a interação entre elas e suas aplicações.^[1] É também chamada de física de altas energias, porque muitas partículas elementares só podem ser detectadas experimentalmente em altas energias. O elétron e o próton foram as únicas partículas aceleradas até os dias de hoje, outras nunca foram detectadas (como o gráviton) e as restantes foram detectadas através da radiação cósmica (como o méson pi e o méson mu).

Breve história

Modelo Padrão da física de partículas
Partículas elementares do Modelo Padrão
Tópicos[Expandir]
Constituintes[Expandir]
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Cientistas[Expandir]
v d e

Os gregos antigos formularam dois conceitos sobre física de partículas. O primeiro foi formulado por Tales de Mileto e diz respeito à eletricidade. O segundo foi formulado por Demócrito e diz que toda matéria pode ser dividida até chegar em um ponto que se encontraria a parte mais fundamental e indivisível da matéria a que Demócrito deu o nome de átomo. Ele dizia que o átomo não poderia ser criado ou destruído e que toda a matéria conhecida seria formada por diversas combinações de diferentes átomos. Suas ideias se aproximavam muito dos atuais conceitos de física atômica.

As ideias de Demócrito só voltaram a ser revistas no século XIX, por Dalton. As de Tales de Mileto foram revistas a partir do século XV.

Principais partículas e antipartículas conhecidas: elétron, pósitron, próton, antipróton, nêutron, antinêutron, neutrino, antineutrino, mésons, híperons e fótons.

Diagramas de Feynman

Ver artigo principal: Diagrama de Feynman

Os diagramas de Feynman são utilizados para análise de processos quânticos. Originalmente, Feynman os desenvolveu para descrever a eletrodinâmica quântica, mas esta ferramenta passou a ser utilizada também na cromodinâmica quântica. Com uma grande variedade de interações entre partículas e com o desenvolvimento de teorias que incorporavam mais partículas nessas interações, responsáveis por mediá-las, os diagramas de Feynman são uma maneira simples de representar processos envolvendo partículas elementares.

Esses diagramas são representações no espaço-tempo com a coordenada espacial x em função da coordenada temporal ct. Usualmente, a coordenada temporal ct é representada na vertical e a espacial na horizontal, mas isso pode variar acordo com as preferências. As partículas são representadas por linhas retas com setas , de forma que estarão apontadas no sentido positivo do tempo se forem partículas, e estarão apontadas no sentido negativo se forem antipartículas. As linhas não representam trajetórias das partículas, uma vez que o objetivo está em descrever as interações entre elas apenas. Partículas virtuais são representadas por linhas tracejadas e só possuirão uma direção se forem partículas carregadas.

Modelo de Thomson

Partículas subatômicas

Ver artigo principal: Partícula subatômica

A pesquisa moderna da física da partícula é focalizada nas partículas subatômicas, que têm dimensões menores que as dos átomos. Incluem constituintes atômicos tais como elétrons (no modelo padrão ele é um lépton, junto com o múon, o tau e os respectivos neutrinos), prótons, e nêutrons (os prótons e os nêutrons são partículas compostas, feita de quarks), partículas produzidas por processos radiativos e de espalhamento tais como fótons, neutrinos, e múons, bem como uma larga escala de partículas exóticas.

Elétron: Partícula mais conhecida e mais estudada, pertence a categoria de Léptons. Massa de repouso: 9,1083 x 10⁻³¹ kg, carga elétrica: − 1,602 x 10⁻¹⁹ C, Spin: 1/2 ħ.
Pósitron: Já era previsto por Paul Dirac e sua existência foi confirmada em 1930–1940 pelo físico americano Anderson. É a antipartícula do elétron, possui massa de repouso e spin iguais aos do elétron. Carga elétrica de mesmo módulo e sinal contrário.
Próton: É um núcleon partícula que se localiza no núcleo. Também pode ser classificada como um Bárion (tipo de partícula formada por 3 Quarks ligados por Glúons) e possui massa 1836,12 vezes a massa do elétron. Mesmo spin e carga de sinal contrário.
Antipróton: Descoberto em 1955. Já se suspeitava que existissem outras antipartículas desde a descoberta do pósitron. Possui mesma massa e spin que o próton, mas carga de sinal oposto (sinal negativo).
Nêutron: Como o próton, é um núcleon e também é classificado como Bárion. Possui carga nula, massa 1836,65 vezes a massa do elétron e spin 1/2 ħ. Pode se desintegrar dando origem a um próton, um elétron e um neutrino apenas quando está livre (fora do núcleo).
Antinêutron: Possui exatamente as mesmas características do nêutron, mas organização interna diferente. Um nêutron é composto de um quark up e dois quarks down. Logo, imagina-se que o antinêutron seja formado por um antiquark up e dois antiquarks down.
Fótons: É a partícula de mediação da força eletromagnética, classificada como bóson, são chamados de quantum do campo eletromagnético. Possui massa e carga elétrica zero e spin 1 ħ.
Grávitons: Teoricamente é a partícula mediadora da força gravitacional, também sendo classificada como um bóson. Analogamente ao fóton, o gráviton é o quantum do campo gravitacional. Não se tem muita informação experimental sobre ele. Só existe com velocidades próximas ou iguais a c (velocidade da luz no vácuo).
Mésons: São uma classe de hádrons quer dizer, massa média. São partículas que possuem massa entre a do elétron e a do próton.
Híperons: Partículas de massa maior que a do próton.
Neutrinos: O neutrino surge da desintegração de um nêutron em próton e elétron. Possui massa menor que 0,000005 vezes a massa do elétron e até agora foram descobertos quatro tipos de neutrinos diferentes.
Glúon: é um bóson vetorial de massa nula. Há oito tipos de glúon. São partículas que intermedeiam a interação forte (assim como o fóton intermedeia a interação eletromagnética).
Tau: é uma partícula subatômica da família dos léptons, sendo que ele é muito parecido com o elétron, ele pode ser genericamente chamado de elétron super-pesado. Sua anti-partícula é o anti-tau. Como no caso do elétron e do múon, o tau tem um neutrino associado, este é o neutrino de tau, seu tempo de vida é de cerca 2,9 × 10^-13s.
Múon: é uma partícula elementar semi-estável com carga elétrica negativa e spin de 1/2 (férmion). Em conjunto com o elétron, o tau e seus respectivos neutrinos, é classificado como fazendo parte da família dos léptons.

Interações fundamentais

Ver artigo principal: Interações fundamentais

Todos os fenômenos físicos que ocorrem na natureza podem ser descritos em termos de quatro interações fundamentais. Elas são fundamentais no sentido de que não podem ser reduzidas a interações mais básicas. Cada interação descreve como uma dada característica, como a massa de uma partícula, ou conjunto de partículas, afeta outras partículas com essa mesma característica.

Segundo o modelo padrão, cada uma dessas interações é mediada pela troca de bósons entre as partículas na qual elas atuam. Essas partículas que mediam as interações são virtuais e, por isso, não podem ser observadas diretamente. Isso justifica o porquê de os efeitos dessas interações não serem sentidas instantaneamente, já que a maior velocidade que elas podem se propagar é com a velocidade da luz. Para que uma partícula virtual possa ser emitida sem violar a conservação de energia, a mesma deve ser reabsorvida em um intervalo de tempo tão curto quanto o permitido pelo princípio da incerteza. Porém, esses bósons mediadores podem ser tornar reais caso seja fornecida energia equivalente à energia de repouso deles.^[2]

Consequentemente o alcance de uma dada interação está relacionado com a massa do bóson mediador. Assim, quanto maior a massa do bóson mediador, menor será o alcance da interação. Cada interação também apresenta um chamado tempo de interação, de forma que a troca de bósons virtuais é feita dentro desse tempo.

A intensidade de cada interação é definida pela sua constante de acoplamento, um parâmetro adimensional que serve para comparar as diferentes interações. No caso particular da interação eletromagnética, a constante de acoplamento é obtida a partir da expressão da energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes divida pelor fator ħc.

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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$V(r)={\frac {U(r)}{\hbar c}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}{\frac {1}{r}}$

A constante de acoplamento da interação eletromagnética é também conhecida como a constante de estrutura fina $\alpha \approx 1/137$ , já substituindo os valores das constantes. Na tabela a seguir são apresentadas características específicas de cada interação:^[2]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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Interação	Bóson mediador	Massa ( $GeV/c^{2}$ )	Fonte	Alcance (m)	Tempo de interação (s)	Constante de acoplamento
Forte	Glúon	0	Carga de cor	$10^{-15}$	$10^{-23}$	$\alpha _{s}\approx 1$
Eletromagnética	Fóton	0	Carga elétrica	$\infty$	$10^{-18}$	$\alpha ={\frac {1}{137}}$
Fraca	$W^{\pm },Z^{0}$	81,91	Carga fraca	$10^{-18}$	$10^{-16}-10^{-10}$	$10^{-5}$
Gravitacional	Gráviton	0	Massa	$\infty$	$-$	$10^{-38}$

Movimento e energia

De acordo com a teoria da relatividade especial de Einstein, a medida que um elétron se aproxima da velocidade da luz, do ponto de vista de um observador sua massa relativística aumenta, e por causa disso torna-se mais difícil acelerar a partir de dentro do plano do observador de referência. A velocidade do elétron pode se aproximar, mas nunca alcançar, a velocidade da luz no vácuo, c. Entretanto, quando elétrons relativísticos- isto é, elétrons se movendo a uma velocidade próxima de c-são injetados em um meio dielétrico tal como a água, onde a velocidade local da luz é significantemente menor que c, os elétrons temporariamente se movem mais rápido do que a luz no meio. A medida que interagem com o meio, eles geral uma luz fraca denominada radiação Cherenkov.^[129]

Fator de Lorentz em função da velocidade. Inicia com o valor 1 e tende ao infinito a medida que v se aproxima de c.

Os efeitos da relatividade especial são baseados em uma quantidade conhecida como fator de Lorentz definido como $\scriptstyle \gamma =1/{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}$ onde ‘’v’’ é a velocidade da partícula. A energia cinética K_e de um elétron se movendo com velocidade v é:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\displaystyle K_{\mathrm {e} }=(\gamma -1)m_{\mathrm {e} }c^{2},

onde m_e é a massa do elétron. Por exemplo, o Centro Acelerador Linear de Stanford pode acelerar um elétron a aproximadamente 51 GeV.^[130] Uma vez que um elétron se comporta como um onda, em uma dada velocidade tem a característica do comprimento de onda de Broglie. Isto é dado por λ_e = h/p onde h é a constante de Planck e p é o momento.^[52] Para o elétron de 51 GeV acima, o comprimento de onda é aproximadamente 2.4×10⁻¹⁷ m, que é pequeno o suficiente para explorar estruturas inferiores ao tamanho do núcleo atômico.^[1

A massa de repouso do elétron (símbolo: $m e$ ) é a massa de um elétron estacionário. É uma das constantes fundamentais da física e também é muito importante na química por causa de sua relação com a Constante de Avogadro. Tem um valor de cerca de 9.11×10⁻³¹ quilogramas ou cerca de 5.486×10⁻⁴ Unidade de massa atômica, equivalente para uma energia de cerca de 8.19×10⁻¹⁴ joules ou cerca de 0.511 megaeletrônomos.^[1]

Terminologia

O termo "massa de repouso" + energia cinética vem da necessidade de levar em conta os efeitos da relatividade especial sobre a massa aparente (ou "observada") de um elétron. É impossível "pesar" um elétron estacionário, e assim todas as medidas práticas devem ser realizadas em elétrons em movimento. O mesmo acontece com qualquer outra partícula subatômica. Para partículas como fótons ou glúons, a situação é ainda mais problemática, uma vez que o próprio conceito de uma partícula sem massa estacionária ou "em repouso" carece de significado.

Determinação

A massa de repouso do elétron em quilogramas é calculada a partir da definição da Constante de Rydberg R_∞:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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R_{\infty }={\frac {m_{\rm {e}}c\alpha ^{2}}{2h}}\Rightarrow m_{\rm {e}}={\frac {2R_{\infty }h}{c\alpha ^{2}}}

onde α é a constante de estrutura fina e h é a Constante de Planck.^[1] A relativa incerteza, 5×10⁻⁸ no valor recomendado do CODATA 2006,^[2] é devido inteiramente à incerteza no valor da constante de Planck.

A massa atômica relativa do elétron pode ser medido diretamente em um Penning trap. Também pode ser deduzido a partir dos espectros de átomos de hélio antiprotônico (átomos de hélio) onde um dos elétrons foi substituído por um antipróton ou por medidas do elétron fator-g nos íons hidrogenóides ¹²C⁵⁺ ou ¹⁶O⁷⁺. O valor recomendado de 2006 CODATA tem uma relativa incerteza de 4.2×10⁻¹⁰.^[1]

A massa atômica relativa de elétrons é um parâmetro ajustado no conjunto CODATA de constantes físicas fundamentais, enquanto a massa de descanso de elétrons em quilogramas é calculada a partir dos valores da constante de Planck, a constante de estrutura fina e a constante de Rydberg.^[1] A correlação entre os dois valores é insignificante (r = 0.0003).^[2]

Relação com outras constantes físicas

Conforme mencionado acima, a massa de elétrons é usada para calcular a Constante de Avogadro N_A:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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N_{\rm {A}}={\frac {M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})}{m_{\rm {e}}}}={\frac {M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})c\alpha ^{2}}{2R_{\infty }h}}

Portanto, ele também está relacionado com a Constante de massa atômica m_u:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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m_{\rm {u}}={\frac {N_{\rm {A}}}{M_{\rm {u}}}}={\frac {A_{\rm {r}}({\rm {e}})}{m_{\rm {e}}}}={\frac {A_{\rm {r}}({\rm {e}})c\alpha ^{2}}{2R_{\infty }h}}

Onde M_u é Constante de massa molar (definida em SI) e A_r(e) é uma quantidade diretamente medida, a massa relativa de elétrons]].

Note que m_u é definida em termos de A_r(e), e não o contrário, e assim o nome "massa de elétrons em unidades de massa atômica" para "A_r(e) envolve uma definição circular (pelo menos em termos de medidas práticas).

A massa atômica relativa do elétron também entra no cálculo de todas as outras massas atômicas relativas. Por convenção, massas atômicas relativas são citadas para átomos neutros, mas as medidas reais são feitas em ions, quer num espectrômetro de massa ou um Penning trap. Portanto, a massa dos elétrons deve ser adicionada de volta aos valores medidos antes da tabulação.Deve ser feita uma correção para o equivalente em massa da energia de ligação E_b. Tomando o caso mais simples de ionização completa de todos os elétrons, para um nuclídeo X de número atômico Z,^[1]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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A_{\rm {r}}({\rm {X}})=A_{\rm {r}}({\rm {X}}^{Z+})+ZA_{\rm {r}}({\rm {e}})-E_{\rm {b}}/m_{\rm {u}}c^{2}\,

Como as massas atômicas relativas são medidas como proporções de massas, as correções devem ser aplicadas a ambos os íons: felizmente, as incertezas nas correções são desprezíveis, como ilustrado abaixo para hidrogênio 1 e oxigênio 16.

	¹H	¹⁶O
massa atômica relativa do X^Z+ ion	1.007 276 466 77(10)	15.990 528 174 45(18)
massa atômica relativa do Z electrons	0.000 548 579 909 43(23)	0.004 388 639 2754(18)
correção para a energia de ligação	−0.000 000 014 5985	−0.000 002 194 1559
massa atómica relativa do átomo neutro	1.007 825 032 07(10)	15.994 914 619 57(18)

O princípio pode ser demonstrado pela determinação da massa atômica relativa dos elétrons por Farnham et al. na Universidade de Washington (1995).^[3] Envolve a medição das frequências da radiação ciclotrônica emitida por elétrons e por íons ¹²C⁶⁺ + em uma armadilha de Penning. A proporção das duas frequências é igual a seis vezes a razão inversa das massas das duas partículas (quanto mais pesada a partícula, menor a frequência da radiação do ciclotron, quanto maior a carga na partícula, maior a frequência):

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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{\frac {\nu _{c}({}^{12}{\rm {C}}^{6+})}{\nu _{c}({\rm {e}})}}={\frac {6A_{\rm {r}}({\rm {e}})}{A_{\rm {r}}({}^{12}{\rm {C}}^{6+})}}=0.000\,274\,365\,185\,89(58)

Como a massa atômica relativa de ¹²C⁶⁺ ions é muito próxima de 12, a relação de frequências pode ser usada para calcular uma primeira aproximação a A_r(e), 5.486 303 7178×10⁻⁴.Este valor aproximado é então usado para calcular uma primeira aproximação a "A_r(¹²C⁶⁺), sabendo que E_b(¹²C)/m_uc² (a partir da soma das seis energias de ionização do carbono) é 1.105 8674×10⁻⁶: A_r(¹²C⁶⁺) ≈ 11.996 708 723 6367. Este valor é então usado para calcular uma nova aproximação para A_r(e), e o processo repetido até que os valores já não variam (dada a incerteza relativa da medida, 2.1×10⁻⁹): isso acontece no quarto ciclo de iterações para esses resultados, dando "A_r(e) = 5.485 799 111(12)×10⁻⁴ para esses dados.

Orbital atômico ^{(português brasileiro)} ou orbital atómica ^{(português europeu)} de um átomo é a denominação dos estados estacionários da função de onda de um elétron (funções próprias do hamiltoniano (H) na equação de Schrödinger $H\psi =E\psi$ , em que $\psi$ é a função de onda).^[1] Entretanto, os orbitais não representam a posição exata do elétron no espaço, que não pode ser determinada devido à sua natureza ondulatória; apenas delimitam uma região do espaço na qual a probabilidade de encontrar o elétron é mais alta.^[2]

Números quânticos

O valor do número quântico $�$ (número quântico principal ou primário, que apresenta os valores $1,~2,~3,~4,~5,~6~ou~7$ [também representado por $�, �, �, �, �, � � �$ ]) define o tamanho do orbital. Quanto maior o número, maior o volume do orbital. Também é o número quântico que tem a maior influência na energia do orbital.
O valor do número quântico $�$ (número quântico secundário ou azimutal, que apresenta os valores $0,~1,~2,~...,~n-1$ ) indica a forma do orbital e o seu momento angular. O momento angular é determinado pela equação:

|L|=\hbar \cdot {\sqrt {l(l+1)}}

A notação científica (procedente da espectroscopia) é a seguinte:

$l=0$ , orbitais $�$
$l=1$ , orbitais $�$
$l=2$ , orbitais $�$
$l=3$ , orbitais $�$

Para os demais orbitais segue-se a ordem alfabética.

O valor do $� �$ (número quântico terciário ou magnético, que pode assumir os valores $-l~...~0~...~+l$ ) define a orientação espacial do orbital diante de um campo magnético externo. Para a projeção do momento angular diante de um campo externo, verifica-se através da equação:

L_{z}=\hbar \cdot m

O valor de $� �$ (número quântico magnético de spin ou spin) pode ser $+1/2~ou~-1/2$ . O valor de $�$ que equivale a uma valor fixo $1/2$ .

Pode-se decompor a função de onda empregando-se o sistema de coordenadas esféricas da seguinte forma:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\psi _{n,~l,~ml}=R_{n,~l}(r)~\Theta _{l,~m_{l}}~(\theta )~\Phi _{m_{l}}(\varphi )

Onde

$R_{n,~l}~(~r)$ representa a distância do elétron até o núcleo, e
$\Theta _{l,~m_{l}}~(\theta )~\Phi _{m_{l}}(\varphi )$ a geometria do orbital.

Para a representação do orbital emprega-se a função quadrada, $\left|\Theta _{l,~m_{l}}~(\theta )\right|^{2}$ $\left|~\Phi _{m_{l}}(\varphi )\right|^{2}$ , já que esta é proporcional à densidade de carga e, portanto, a densidade de probabilidade, isto é, o volume que encerra a maior parte da probabilidade de encontrar o elétron ou, se preferir, o volume ou a região do espaço na qual o elétron passa a maior parte do tempo.

O raio clássico do elétron é uma combinação de quantidades físicas fundamentais que definem um comprimento de escala para os problemas que envolvem os elétrons que interagem com a radiação eletromagnética. De acordo com a compreensão moderna, o elétron é uma partícula elementar com carga puntual, sem extensão espacial. Tentativas de modelar o elétron como uma partícula não-puntual são consideradas mal-concebidas e contra-pedagógicas.^[1] No entanto, é útil para definir um comprimento que surge nas interações do elétron em problemas de escalas atômicas. O raio clássico do elétron é dado como (em unidades SI):

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}=2,8179403227(19)\times 10^{-15}{\text{ m}},

onde $�$ e $m_{\text{e}}$ são a carga elétrica e a massa do elétron, $�$ é a velocidade da luz, e $\varepsilon _{0}$ é a permissividade do vácuo.^[2] Este valor numérico é várias vezes maior do que o raio do próton.

Em unidades CGS, o fator permissividade não é considerado, mas o raio clássico do elétron mantém o mesmo valor.

O raio clássico do elétron é às vezes conhecido como raio de Lorentz ou comprimento do espalhamento de Thomson. É uma das três escalas relacionadas de comprimento, sendo as outras duas o raio de Bohr e o comprimento de onda Compton do elétron. O raio clássico do elétron é obtido a partir da massa do elétron $m_{\text{e}}$ , da velocidade da luz $�$ e da carga do elétron $�$ . O raio de Bohr é obtido a partir de $m_{\text{e}}$ , $�$ e da constante de Planck $ℎ$ . O comprimento de onda Compton é obtido a partir de $m_{\text{e}}$ , $ℎ$ e $�$ . Qualquer uma dessas três escalas de comprimento pode ser escrita em termos de qualquer outra usando a constante de estrutura $\alpha$ :

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

r_{\text{e}}={\alpha {{\hbar c} \over {m_{\text{e}}c^{2}}}}={\alpha {\lambda _{\text{e}} \over 2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.

Derivação

A motivação para a obtenção do raio clássico do elétron pode estar no cálculo da energia necessária para manter uma quantidade de carga $�$ em uma esfera de um determinado raio $�$ .^[3] O potencial eletrostático a uma distância r de uma carga $�$ é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}

Para trazer uma quantidade adicional de carga $� �$ desde o infinito, necessita-se colocar energia no sistema, $� �$

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

dU=V(r)dq

Ao assumir que a esfera tem uma densidade de carga constante, $\rho$ , temos

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

q=\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}

dq=\rho 4\pi r^{2}dr

Fazendo a integração de $�$ começando em zero até um raio final $�$ leva-nos à expressão da energia total, $�$ , necessária para manter a carga total $�$ em uma esfera uniforme de raio $�$ :

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

U={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3}{5}}{\frac {q^{2}}{r}}

Esta é a chamada auto-energia eletrostática do objeto. A carga $�$ é agora interpretada como um elétron de carga $�$ e energia $�$ definida igual à massa-energia relativística do elétron, $mc^{2}$ e o fator numérico 3/5 é ignorado como sendo específico para o caso especial de uma densidade de carga uniforme. O raio $�$ é, então, definido como sendo o raio clássico do elétron, $r_{\text{e}}$ e chega-se à expressão dada acima.

Note que esta derivação não dizer que $r_{\text{e}}$ é o raio de um elétron. Ela apenas estabelece uma ligação dimensional entre a energia eletrostática e a massa-energia do elétron.

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade de variável aleatória discreta que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.

A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}},\,\!

onde

e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
k! é o fatorial de k,
λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

Processo de Poisson

Ver artigo principal: Processo de Poisson

A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

${\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$P[N(t)=K]={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}},\,\!$

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo)^[^{carece de fontes]}.

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

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